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Posts Tagged ‘Théorème de Pythagore’

Les réseaux sociaux abondent de bêtisiers en tous genres, et même de bêtises à part entière, d’ailleurs rarement revendiquées comme telles ! Ces dernières, d’authentiques âneries sont très fréquentes, et souvent les plus dangereuses, parce qu’elles servent de supports ou de justificatifs à toutes les rumeurs et qu’elles peuvent véhiculer les idées les plus folles ! Inutile donc de s’y attarder…

Ce qui est plus intéressant en revanche, ce sont les vrais sottisiers censés nous distraire, le temps d’un clic de souris d’ordinateur…Beaucoup, notamment ceux diffusés en boucle à la télévision sont cependant assez oiseux et même carrément grotesques, surtout lorsque, inlassablement, ils ressassent les mêmes scènes de puces sauteuses, de personnes glissant sur une peau de banane ou se cognant dans un poteau indicateur en consultant leur smartphone…

Mais il y a aussi quelques perles, parmi les réponses ingénues collectionnées dans les écoles !

Ainsi celle-ci, que de nombreux internautes partagent sur Facebook, et qui suggère qu’un élève, confronté à la question de « trouver x », l’hypoténuse d’un triangle rectangle, se contente d’entourer « x » en se dispensant d’en donner la valeur!    

Cette réponse de premier degré, peut-être provocatrice, n’est évidemment pas celle qu’attendait le pédagogue ayant posé le problème, mais force est de constater qu’elle a sa logique, et qu’elle devrait au moins créditer l’impudent du statut de « petit futé ». On peut donc supposer qu’elle lui valu, à la fois, « l’admiration du jury » et un zéro pointé…

C’est en tout cas, cette « admiration du jury » qui lui a ouvertes toutes grandes, les portes de la gloire numérique et qui le gratifie désormais d’un « partage » infini et rigolard sur Internet !

Mais au fait, quelle est la bonne réponse à ce problème élémentaire ?

Si la figure est dessinée à l’échelle, la façon la plus simple de procéder pour fournir la réponse, est de se saisir d’une règle graduée et de mesurer directement la longueur de l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit dans un triangle rectangle). Elle est ici de « cinq », les deux autres côtés ayant respectivement pour longueur « quatre » et « trois » ! (un cas aussi trivial est exceptionnel).

Mais il y a plus élégant! L’application du théorème de Pythagore (-569-475 av JC), connu de tous les collégiens, même des « nuls » en maths, qui postule que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Dans notre exemple, le carré de l’hypoténuse est égal à :

 32 + 4= 9 +16 = 25 = 52

La longueur de l’hypoténuse est donc de: le résultat confirme la mesure, et tout esprit « normal » devrait s’en satisfaire ! Et s’en tenir là. CQFD.

Certes, mais il y a aussi des pinailleurs qui trouvent à redire sur tout …

Et il arrive même que ce soient eux qui fassent avancer le « schmilblick ».

Ceux-ci se répartissent d’ailleurs en deux catégories :

  • D’une part, les chipoteurs qui se drapent dans l’orthodoxie et le purisme et qui entendent, avant toute chose, préciser que la validité de ce fameux théorème de Pythagore, démontré six siècles avant Jésus-Christ, n’est vérifiée en toute rigueur qu’en géométrie euclidienne…Dont acte
  • D’autre part, les chicaneurs qui, contre toute évidence, estiment que ce serait bien plus facile si la longueur de l’hypoténuse, correspondait à la somme des deux autres côtés du triangle rectangle (au lieu de la somme des carrés)! Ils prétendent que cette hypothèse ne doit pas être écartée et certains vont jusqu’à penser que Pythagore se serait planté ! Et ils entendent le démontrer !

A cette fin, sur un triangle rectangle A, B, C, ils assimilent l’hypoténuse à un toboggan permettant de glisser du « point haut » B au « point bas » C, et de réaliser ainsi un trajet de gauche à droite et de haut en bas. Mais dans le même temps, sensibles probablement aux arguments de postérieurs vieillissants peu enclins à la glissade, ils imaginent un escalier de « B » à « C » coupant et recoupant l’hypoténuse-toboggan.

Miracle! On observe alors que les longueurs additionnées des marches horizontales et des contre-marches verticales correspondent très exactement à la somme des deux côtés du triangle rectangle !

Ce résultat est d’ailleurs le même si les marches et les contre-marches sont de plus en plus petites et même si elles sont inégales, pourvu qu’elles enlacent l’hypoténuse-toboggan dans un slow de plus en plus lascif. La longueur totale de cette ligne brisée, flirtant intimement avec le toboggan-hypoténuse, demeure imperturbablement égale à la somme des deux autres côtés !

Ce résultat est assez déroutant car il contredit notre mesure initiale de l’hypoténuse où la longueur de cette dernière est toujours inférieure à la somme des deux autres côtés du triangle. Il est surtout troublant parce qu’il tendrait à montrer que le théorème de Pythagore n’est pas aussi robuste qu’on le pense, y compris dans le contexte de notre géométrie quotidienne – celle de ce bon vieil Euclide (-300 av JC)… Rien n’interdit en effet de poursuivre l’exercice de pensée en concevant des marches et des contre-marche « infiniment » petites, jusqu’à ce que l’escalier se confonde avec l’hypoténuse, à force de la frôler!

Et c’est précisément là que le bât blesse ! Jamais on ne retrouve (en additionnant ces minuscules marches) la valeur calculée ou mesurée de l’hypoténuse. Où est le prodige? L’erreur de nos présomptueux chicaneurs, apprentis iconoclastes de Pythagore, provient en fait de leur mauvaise perception de l’adverbe « infiniment ».

Sur ce point, les mathématiciens, Luc de Brabandère et Christophe Ribesse qui m’ont inspiré ce petit conte, précisent dans leur merveilleuse « Petite Philosophie des mathématiques vagabondes » (Eyrolles janvier 2012) que « depuis les travaux de Georg Cantor (1845-1918), l’infini est un concept beaucoup plus étendu qu’estimé a priori » … On s’en serait douté!

J’ajouterais volontiers « complexe » et paradoxal, propre à décourager les « finasseurs » du dimanche mais aussi à promouvoir des vocations de mathématiciens ! Il faut se méfier des apparences et des fausses évidences.

Euclide

« L’infini c’est long, surtout sur la fin!  » (Woody Allen/Kafka). … et parfois plus court!

 

 

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